Answer:
Given:
![\\ {\tt{A = \left [ \: \begin{array}{ c c c} \: \: \: \: 2 & -3 & - 5 \\ - 1 & \: \: \: 4 & \: \: \: \: 5 \\ \: \: \: \: 1& - 3 & - 4\end{array} \: \: \: \right] \: and \: B = \left[\begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & - 2 & - 4 \\ - 1 & \: \: \: \: 3 & \: \: \: \: 4 \\ \: \: \: \: 1 & - 2 & - 3\end{array} \right]}}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5C%5C%20%7B%5Ctt%7BA%20%3D%20%5Cleft%20%5B%20%5C%3A%20%5Cbegin%7Barray%7D%7B%20c%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-3%20%26%20-%205%20%5C%5C%20-%201%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%205%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%26%20-%203%20%26%20-%204%5Cend%7Barray%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5Cright%5D%20%5C%3A%20and%20%5C%3A%20B%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-%202%20%26%20-%204%20%5C%5C%20-%201%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%203%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-%202%20%26%20-%203%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%7D%7D)
Matrix A is of order 3 × 3 and Matrix B is of order 3 × 3
To Show:
Formula Used:
![\\ { \rm{ \left[ \begin{array}{c c c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array} \right] = \: \left[ \begin{array}{c c c} \: \: a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} \\ \: \: a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32}&a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33} \\ \: \: a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31}&a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} + a_{33}b_{33}\end{array} \right]}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%20%7B%20%5Crm%7B%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20a_%7B11%7D%20%26%20a_%7B12%7D%20%26%20a_%7B13%7D%20%5C%5C%20a_%7B21%7D%20%26%20a_%7B22%7D%20%26%20a_%7B23%7D%20%5C%5C%20a_%7B31%7D%20%26%20a_%7B32%7D%20%26%20a_%7B33%7D%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20b_%7B11%7D%20%26%20b_%7B12%7D%20%26%20b_%7B13%7D%20%5C%5C%20b_%7B21%7D%20%26%20b_%7B22%7D%20%26%20b_%7B23%7D%20%5C%5C%20b_%7B31%7D%20%26%20b_%7B32%7D%20%26%20b_%7B33%7D%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20%5C%3A%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20a_%7B11%7Db_%7B11%7D%20%2B%20a_%7B12%7Db_%7B21%7D%20%2B%20a_%7B13%7Db_%7B31%7D%20%26%20a_%7B11%7Db_%7B12%7D%20%2B%20a_%7B12%7Db_%7B22%7D%20%2B%20a_%7B13%7Db_%7B32%7D%20%26%20a_%7B11%7Db_%7B13%7D%20%2B%20a_%7B12%7Db_%7B23%7D%20%2B%20a_%7B13%7Db_%7B33%7D%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20a_%7B21%7Db_%7B11%7D%20%2B%20a_%7B22%7Db_%7B21%7D%20%2B%20a_%7B23%7Db_%7B31%7D%20%26%20a_%7B21%7Db_%7B12%7D%20%2B%20a_%7B22%7Db_%7B22%7D%20%2B%20a_%7B23%7Db_%7B32%7D%26a_%7B21%7Db_%7B13%7D%20%2B%20a_%7B22%7Db_%7B23%7D%20%2B%20a_%7B23%7Db_%7B33%7D%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20a_%7B31%7Db_%7B11%7D%20%2B%20a_%7B32%7Db_%7B21%7D%20%2B%20a_%7B33%7Db_%7B31%7D%26a_%7B31%7Db_%7B12%7D%20%2B%20a_%7B32%7Db_%7B22%7D%20%2B%20a_%7B33%7Db_%7B32%7D%20%26%20a_%7B31%7Db_%7B13%7D%20%2B%20a_%7B32%7Db_%7B23%7D%20%2B%20a_%7B33%7Db_%7B33%7D%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%7D%7D)
If A is a matrix of order a×b and B is a matrix of order c×d , then matrix AB exits and is of order a×d , if and only if b = c.

If A is a matrix of order a×b and B is a matrix of order c×d , then matrix BA exits and is of order c×b , if and only if d = a.

<h2>____________________________________________________________________</h2>
For Matrix AB, a = 3, b = c = 3, d = 3 , thus Matrix AB is of order 3×3
![\\ { \rm{Matrix \: AB = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -3 & -5 \\ -1 & \: \: \: 4 & \: \: \: \: 5 \\ \: \: \: \: 1 & -3 & -4 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -2 & -4 \\ -1 & \: \: \: \: 3 & \: \: \: \: 4 \\ \: \: \: \: 1 & -2 & -3 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2(2)-3(-1)-5(1) & \: \: \: \: 2(-2)-3(3)-5(-2) & \: \: \: \: 2(-4)-3(4)-5(-3) \\ -1(2)+4(-1)+5(1) & -1(-2)+4(3)+5(-2) & -1(-4)+4(4)+5(-3)\\ \: \: \: \: 1(2)-3(-1)-4(1) & \: \: \: \: 1(-2)-3(3)-4(-2) & \: \: \: \: 1(-4)-3(4)-4(-3) \end{array} \right]}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%20%7B%20%5Crm%7BMatrix%20%5C%3A%20AB%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-3%20%26%20-5%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%205%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-3%20%26%20-4%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-2%20%26%20-4%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%203%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-2%20%26%20-3%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%282%29-3%28-1%29-5%281%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%28-2%29-3%283%29-5%28-2%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%28-4%29-3%284%29-5%28-3%29%20%5C%5C%20-1%282%29%2B4%28-1%29%2B5%281%29%20%26%20-1%28-2%29%2B4%283%29%2B5%28-2%29%20%26%20-1%28-4%29%2B4%284%29%2B5%28-3%29%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%282%29-3%28-1%29-4%281%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%28-2%29-3%283%29-4%28-2%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%28-4%29-3%284%29-4%28-3%29%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%7D%7D)
![\\ {\rm{Matrix \: AB = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 4 + 3 - 5 & \: \: \: -4 -9 + 10 & \: \: -8 - 12 + 15 \\ -2 - 4 + 5 & \: \: \: \: \: \: + 2 + 12 - 10 & \: \: \: \: \: 4 + 16 - 15 \\ \: \: \: \: \: 2 + 3 - 4 & \: \: -2 - 9 + 8 & -4 - 12 + 12 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -3 & -5 \\ -1 & \: \: \: \: 4 & \: \: \: 5 \\ \: \: \: \: 1 & -3 & -4 \end{array} \right]}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%20%7B%5Crm%7BMatrix%20%5C%3A%20AB%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%2B%203%20-%205%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20-4%20-9%20%2B%2010%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20-8%20-%2012%20%2B%2015%20%5C%5C%20-2%20-%204%20%2B%205%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%2B%202%20%2B%2012%20-%2010%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%2B%2016%20-%2015%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%2B%203%20-%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20-2%20-%209%20%2B%208%20%26%20-4%20-%2012%20%2B%2012%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-3%20%26%20-5%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%205%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-3%20%26%20-4%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%7D%7D)
![\\ {\rm{Matrix \: AB = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -3 & -5 \\ -1 & \: \: \: \: 4 & \: \: \: 5 \\ \: \: \: \: 1 & -3 & -4 \end{array} \right] = Matrix \: A}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%20%7B%5Crm%7BMatrix%20%5C%3A%20AB%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-3%20%26%20-5%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%205%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-3%20%26%20-4%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20Matrix%20%5C%3A%20A%7D%7D)
<h3>
Matrix AB = Matrix A</h3><h2>____________________________________________________________________</h2>
For Matrix BA, a = 3, b = c = 3, d = 3 , thus Matrix BA is of order 3 × 3
![\\ {\rm{Matrix \: BA = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -2 & -4 \\ -1 & \: \: \: \: 3 & \: \: \: \: 4 \\ \: \: \: \: 1 & -2 & -3 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -3 & -5 \\ -1 & \: \: \: \: 4 & \: \: \: \: 5 \\ \: \: \: \: \: 1 & -3 & -4 \end{array} \right]}}= \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: \: 2(2) -2(-1) -4(1) & \: \: \: \: 2(-3) -2(4) -4(-3) & \: \: \: \: 2(-5) -2(5) -4(-4) \\ \: -1(2) + 3(-1) + 4(1) & -1(-3) + 3(4) +4(-3) & -1(-5) + 3(5) + 4(-4) \\ \: \: \: \: \: 1(2) -2(-1) -3(1) & \: \: \: \: 1(-3) -2(4) -3(-3) & \: \: \: \: 1(-5) -2(5) -3(-4) \end{array} \right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%20%7B%5Crm%7BMatrix%20%5C%3A%20BA%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-2%20%26%20-4%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%203%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-2%20%26%20-3%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-3%20%26%20-5%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%205%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-3%20%26%20-4%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%7D%7D%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%282%29%20-2%28-1%29%20-4%281%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%28-3%29%20-2%284%29%20-4%28-3%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%28-5%29%20-2%285%29%20-4%28-4%29%20%5C%5C%20%5C%3A%20-1%282%29%20%2B%203%28-1%29%20%2B%204%281%29%20%26%20-1%28-3%29%20%2B%203%284%29%20%2B4%28-3%29%20%26%20-1%28-5%29%20%2B%203%285%29%20%2B%204%28-4%29%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%282%29%20-2%28-1%29%20-3%281%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%28-3%29%20-2%284%29%20-3%28-3%29%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%28-5%29%20-2%285%29%20-3%28-4%29%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D)
![\\{ \rm{Matrix \: BA = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 4 + 2 - 4 & \: \: \: -6 -8 + 12 & \: \: -10 - 10 + 16 \\ -2 - 3 + 4 & \: \: \: \: \: \: +3 + 12 - 12 & \: \: \: \: \: + 5 + 15 - 16 \\ \: \: \: \: \: 2 + 2 - 3 & \: -3 -8 +9 & \: \: \: \: \: -5 -10 + 12 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -2 & -4 \\ -1 & \: \: \: \: 3 & \: \: \: \: 4 \\ \: \: \: \: 1 & -2 & -3 \end{array} \right]}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%7B%20%5Crm%7BMatrix%20%5C%3A%20BA%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%2B%202%20-%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20-6%20-8%20%2B%2012%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20-10%20-%2010%20%2B%2016%20%5C%5C%20-2%20-%203%20%2B%204%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%2B3%20%2B%2012%20-%2012%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%2B%205%20%2B%2015%20-%2016%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%2B%202%20-%203%20%26%20%5C%3A%20-3%20-8%20%2B9%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20-5%20-10%20%2B%2012%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-2%20%26%20-4%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%203%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-2%20%26%20-3%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%7D%7D)
![\\{ \rm{Matrix \: BA = \left[ \begin{array}{c c c} \: \: \: \: 2 & -2 & -4 \\ -1 & \: \: \: \: 3 & \: \: \: \: 4 \\ \: \: \: \: 1 & -2 & -3 \end{array} \right] = Matrix \: B}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5C%5C%7B%20%5Crm%7BMatrix%20%5C%3A%20BA%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%20c%20c%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%202%20%26%20-2%20%26%20-4%20%5C%5C%20-1%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%203%20%26%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%204%20%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%201%20%26%20-2%20%26%20-3%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%3D%20Matrix%20%5C%3A%20B%7D%7D)
<h3>Matrix BA = Matrix B</h3><h2>____________________________________________________________________</h2>