• 2<em>xy</em> + <em>x</em> ² <em>y'</em> = 0
This DE is exact, since
∂(2<em>xy</em>)/∂<em>y</em> = 2<em>x</em>
∂(<em>x</em> ²)/∂<em>x</em> = 2<em>x</em>
are the same. Then there is a solution of the form <em>f(x, y)</em> = <em>C</em> such that
∂<em>f</em>/∂<em>x</em> = 2<em>xy</em> ==> <em>f(x, y)</em> = <em>x</em> ² <em>y</em> + <em>g(y)</em>
∂<em>f</em>/∂<em>y</em> = <em>x</em> ² = <em>x </em>² + d<em>g</em>/d<em>y</em> ==> d<em>g</em>/d<em>y</em> = 0 ==> <em>g(y)</em> = <em>C</em>
==> <em>f(x, y)</em> = <em>x</em> ² <em>y</em> = <em>C</em>
<em />
• sin(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) + cos(<em>x</em>) sin(<em>y</em>) <em>y'</em> = 0
is also exact because
∂(sin(<em>x</em>) cos(<em>y</em>))/∂<em>y</em> = -sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
∂(cos(<em>x</em>) sin(<em>y</em>))/∂<em>x</em> = -sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
Then
∂<em>f</em>/∂<em>x</em> = sin(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) ==> <em>f(x, y)</em> = -cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) + <em>g(y)</em>
∂<em>f</em>/∂<em>y</em> = cos(<em>x</em>) sin(<em>y</em>) = cos(<em>x</em>) sin(<em>y</em>) + d<em>g</em>/d<em>y</em> ==> d<em>g</em>/d<em>y</em> = 0 ==> <em>g(y)</em> = <em>C</em>
==> <em>f(x, y)</em> = -cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) = <em>C</em>
<em />
• <em>x</em> ² + <em>y</em> ² - 2<em>xyy'</em> = 0
is not exact:
∂(<em>x</em> ² + <em>y</em> ²)/∂<em>x</em> = 2<em>x</em>
∂(-2<em>xy</em>)/∂<em>y</em> = -2<em>x</em>
So we look for an integrating factor <em>µ(x, y)</em> such that
<em>µ</em> (<em>x</em> ² + <em>y</em> ²) - 2<em>µxyy'</em> = 0
becomes exact, which would require that these be equal:
∂(<em>µ</em> (<em>x</em> ² + <em>y</em> ²))/∂<em>y</em> = (<em>x</em> ² + <em>y</em> ²) ∂<em>µ</em>/∂<em>y</em> + 2<em>µy</em>
∂(-2<em>µxy</em>)/∂<em>x</em> = -2<em>xy</em> ∂<em>µ</em>/∂<em>x</em> - 2<em>µy</em>
Observe that if <em>µ(x, y)</em> = <em>µ(x)</em>, then ∂<em>µ</em>/∂<em>y</em> = 0 and ∂<em>µ</em>/∂<em>x</em> = d<em>µ</em>/d<em>x</em>, so we would have
2<em>µy</em> = -2<em>xy</em> d<em>µ</em>/d<em>x</em> - 2<em>µy</em>
==> -2<em>xy</em> d<em>µ</em>/d<em>x</em> = 4<em>µy</em>
==> d<em>µ</em>/<em>µ</em> = -2/<em>x</em> d<em>x</em>
Integrating both sides gives
∫ d<em>µ</em>/<em>µ</em> = ∫ -2/<em>x</em> d<em>x</em> ==> ln|<em>µ</em>| = -2 ln|<em>x</em>| ==> <em>µ</em> = 1/<em>x</em> ²
So in the modified DE, we have
(1 + <em>y</em> ²/<em>x</em> ²) - 2<em>y</em>/<em>x</em> <em>y'</em> = 0
which is now exact and ready to solve, since
∂(1 + <em>y</em> ²/<em>x</em> ²)/∂<em>y</em> = 2<em>y</em>/<em>x</em> ²
∂(-2<em>y</em>/<em>x</em>)/∂<em>x</em> = 2<em>y</em>/<em>x</em> ²
We get
∂<em>f</em>/∂<em>x</em> = 1 + <em>y</em> ²/<em>x</em> ² ==> <em>f(x, y)</em> = <em>x</em> - <em>y</em> ²/<em>x</em> + <em>g(y)</em>
∂<em>f</em>/∂<em>y</em> = -2<em>y</em>/<em>x</em> = -2<em>y</em>/<em>x</em> + d<em>g</em>/d<em>y</em> ==> d<em>g</em>/d<em>y</em> = 0 ==> <em>g(y)</em> = <em>C</em>
==> <em>f(x, y)</em> = <em>x</em> - <em>y</em> ²/<em>x</em> = <em>C</em>
<em />
• exp(2<em>x</em>) (2 cos(<em>y</em>) - sin(<em>y</em>) <em>y' </em>) = 0
is exact, since
∂(2 exp(2<em>x</em>) cos(<em>y</em>))/∂<em>y</em> = -2 exp(2<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
∂(-exp(2<em>x</em>) sin(<em>y</em>))/∂<em>x</em> = -2 exp(2<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
Then
∂<em>f</em>/∂<em>x</em> = 2 exp(2<em>x</em>) cos(<em>y</em>) ==> <em>f(x, y)</em> = exp(2<em>x</em>) cos(<em>y</em>) + <em>g(y)</em>
∂<em>f</em>/∂<em>y</em> = -exp(2<em>x</em>) sin(<em>y</em>) = -exp(2<em>x</em>) sin(<em>y</em>) + d<em>g</em>/d<em>y</em> ==> d<em>g</em>/d<em>y</em> = 0 ==> <em>g(y)</em> = <em>C</em>
==> <em>f(x, y)</em> = exp(2<em>x</em>) cos(<em>y</em>) = <em>C</em>
Given that <em>y</em> = 0 when <em>x</em> = 0, we find that
<em>C</em> = exp(0) cos(0) = 1
so that the particular solution is
exp(2<em>x</em>) cos(<em>y</em>) = 1