The partial fraction expansion will look like
(<em>x</em> - 2)/((<em>x</em> ² + 1) (<em>x</em> - 1)²) = (<em>ax</em> + <em>b</em>)/(<em>x</em> ² + 1) + <em>c</em>/(<em>x</em> - 1) + <em>d</em>/(<em>x</em> - 1)²
Get everything in terms of a common denominator, and compare the numerators on both sides:
<em>x</em> - 2 = (<em>ax</em> + <em>b</em>) (<em>x</em> - 1)² + <em>c</em> (<em>x</em> ² + 1) (<em>x</em> - 1) + <em>d</em> (<em>x</em> ² + 1)
Expand the right side:
<em>x</em> - 2 = (<em>ax</em> + <em>b</em>) (<em>x</em> - 1)² + <em>c</em> (<em>x</em> ² + 1) (<em>x</em> - 1) + <em>d</em> (<em>x</em> ² + 1)
<em>x</em> - 2 = (<em>a</em> + <em>c</em>) <em>x</em> ³ + (-2<em>a</em> + <em>b</em> - <em>c</em> + <em>d</em>) <em>x</em> ² + (<em>a</em> - 2<em>b</em> + <em>c</em>) <em>x</em> + <em>b</em> - <em>c</em> + <em>d</em>
<em />
Match up the coefficients and solve the resulting system of equations:
<em>a</em> + <em>c</em> = 0
-2<em>a</em> + <em>b</em> - <em>c</em> + <em>d</em> = 0
<em>a</em> - 2<em>b</em> + <em>c</em> = 1
<em>b</em> - <em>c</em> + <em>d</em> = -2
==> <em>a</em> = -1, <em>b</em> = -1/2, <em>c</em> = 1, <em>d</em> = -1/2
So the expansion into partial fractions is
(<em>x</em> - 2)/((<em>x</em> ² + 1) (<em>x</em> - 1)²) = (-<em>x</em> - 1/2)/(<em>x</em> ² + 1) + 1/(<em>x</em> - 1) - 1/(2 (<em>x</em> - 1)²)
… = -(2<em>x</em> + 1)/(2 (<em>x</em> ² + 1)) + 1/(<em>x</em> - 1) - 1/(2 (<em>x</em> - 1)²)
