The given curve has equation
<em>r(θ)</em> = 9 + 8 cos(<em>θ</em>)
and its derivative is
d<em>r</em>/d<em>θ</em> = -8 sin(<em>θ</em>)
When <em>θ</em> = <em>π</em>/3, we have <em>r</em> (<em>π</em>/3) = 13, and d<em>r</em>/d<em>θ</em> (<em>π</em>/3) = -4√3.
Differentiate these with respect to <em>θ</em> :
d<em>y</em>/d<em>θ</em> = d<em>r</em>/d<em>θ</em> sin(<em>θ</em>) + <em>r(θ)</em> cos(<em>θ</em>)
d<em>x</em>/d<em>θ</em> = d<em>r</em>/d<em>θ</em> cos(<em>θ</em>) - <em>r(θ</em>) sin(<em>θ</em>)
In polar coordinates, we have
<em>y(θ)</em> = <em>r(θ)</em> sin(<em>θ</em>)
<em>x(θ)</em> = <em>r(θ)</em> cos(<em>θ</em>)
and when <em>θ</em> = <em>π</em>/3, we have <em>y</em> (<em>π</em>/3) = 13√3/2 and <em>x</em> (<em>π</em>/3) = 13/2.
The slope of the tangent line to the curve is d<em>y</em>/d<em>x</em>. By the chain rule,
d<em>y</em>/d<em>x</em> = d<em>y</em>/d<em>θ</em> • d<em>θ</em>/d<em>x</em> = (d<em>y</em>/d<em>θ</em>) / (d<em>x</em>/d<em>θ</em>)
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (d<em>r</em>/d<em>θ</em> sin(<em>θ</em>) + <em>r(θ)</em> cos(<em>θ</em>)) / (d<em>r</em>/d<em>θ</em> cos(<em>θ</em>) - <em>r(θ</em>) sin(<em>θ</em>))
When <em>θ</em> = <em>π</em>/3, the slope is
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (-4√3 sin(<em>π</em>/3) + 13 cos(<em>π</em>/3)) / (-4√3 cos(<em>π</em>/3) - 13 sin(<em>π</em>/3))
d<em>y</em>/d<em>x</em> = (-4√3 (√3/2) + 13 (1/2)) / (-4√3 (1/2) - 13 (√3/2))
d<em>y</em>/d<em>x</em> = - 1/(17√3)
So, the tangent line has slope -1/(17√3) and passes through (13/2, 13√3/2). Using the point-slope formula, its equation is
<em>y</em> - 13√3/2 = -1/(17√3) (<em>x</em> - 13/2)
<em>y</em> = -(<em>x</em> - 338)/(17√3)
