<em>f(x, y)</em> = <em>x</em> ² - 4<em>xy</em> + 5
has critical points where both partial derivatives vanish:
∂<em>f</em>/∂<em>x</em> = 2<em>x</em> - 4<em>y</em> = 0 ==> <em>x</em> = 2<em>y</em>
∂<em>f</em>/∂<em>y</em> = -4<em>x</em> = 0 ==> <em>x</em> = 0 ==> <em>y</em> = 0
The origin does not lie in the region <em>R</em>, so we can ignore this point.
Now check the boundaries:
• <em>x</em> = 1 ==> <em>f</em> (1, <em>y</em>) = 6 - 4<em>y</em>
Then
max{<em>f</em> (1, <em>y</em>) | 0 ≤ <em>y</em> ≤ 2} = 6 when <em>y</em> = 0
max{<em>f</em> (1, <em>y</em>) | 0 ≤ <em>y</em> ≤ 2} = -2 when <em>y</em> = 2
• <em>x</em> = 4 ==> <em>f</em> (4, <em>y</em>) = 12 - 16<em>y</em>
Then
max{<em>f</em> (4, <em>y</em>) | 0 ≤ <em>y</em> ≤ 2} = 12 when <em>y</em> = 0
max{<em>f</em> (4, <em>y</em>) | 0 ≤ <em>y</em> ≤ 2} = -4 when <em>y</em> = 2
• <em>y</em> = 0 ==> <em>f</em> (<em>x</em>, 0) = <em>x</em> ² + 5
Then
max{<em>f</em> (<em>x</em>, 0) | 1 ≤ <em>x</em> ≤ 4} = 21 when <em>x</em> = 4
min{<em>f</em> (<em>x</em>, 0) | 1 ≤ <em>x</em> ≤ 4} = 6 when <em>x</em> = 1
• <em>y</em> = 2 ==> <em>f</em> (<em>x</em>, 2) = <em>x</em> ² - 8<em>x</em> + 5 = (<em>x</em> - 4)² - 11
Then
max{<em>f</em> (<em>x</em>, 2) | 1 ≤ <em>x</em> ≤ 4} = -2 when <em>x</em> = 1
min{<em>f</em> (<em>x</em>, 2) | 1 ≤ <em>x</em> ≤ 4} = -11 when <em>x</em> = 4
So to summarize, we found
max{<em>f(x, y)</em> | 1 ≤ <em>x</em> ≤ 4, 0 ≤ <em>y</em> ≤ 2} = 21 at (<em>x</em>, <em>y</em>) = (4, 0)
min{<em>f(x, y)</em> | 1 ≤ <em>x</em> ≤ 4, 0 ≤ <em>y</em> ≤ 2} = -11 at (<em>x</em>, <em>y</em>) = (4, 2)
