(a) Since <em>u</em> = cos(<em>x</em>) gives d<em>u</em> = -sin(<em>x</em>) d<em>x</em>, we have
∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em> = - ∫ (-sin(<em>x</em>)) cos(<em>x</em>) d<em>x</em>
= - ∫ cos(<em>x</em>) d(cos(<em>x</em>))
= - ∫ <em>u</em> d<em>u</em>
= - 1/2 <em>u</em>² + C
= -1/2 cos²(<em>x</em>) + C
(b) Now <em>u</em> = sin(<em>x</em>) gives d<em>u</em> = cos(x) d<em>x</em>, so
∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em> = ∫ sin(<em>x</em>) d(sin(<em>x</em>))
= ∫ <em>u</em> d<em>u</em>
= 1/2 <em>u</em>² + C
= 1/2 sin²(<em>x</em>) + C
(c) Since sin(2<em>x</em>) = 2 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>), we have
∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em> = 1/2 ∫ sin(2<em>x</em>) d<em>x</em>
Substitute <em>u</em> = 2<em>x</em>, so that d<em>u</em> = 2 d<em>x</em>, and
∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em> = 1/2 ∫ sin(2<em>x</em>) d<em>x</em>
= 1/4 ∫ 2 sin(2<em>x</em>) d<em>x</em>
= 1/4 ∫ sin(<em>u</em>) d<em>u</em>
= -1/4 cos(<em>u</em>) + C
= -1/4 cos(2<em>x</em>) + C
(d) Integrate by parts, setting
<em>u</em> = sin(<em>x</em>) ==> d<em>u</em> = cos(<em>x</em>) d<em>x</em>
d<em>v</em> = cos(<em>x</em>) d<em>x</em> ==> <em>v</em> = sin(<em>x</em>)
Then
∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em> = sin²(<em>x</em>) - ∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em>
2 ∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em> = sin²(<em>x</em>) + C
∫ sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) d<em>x</em> = 1/2 sin²(<em>x</em>) + C
The solutions in (b) and (d) are identical, but all 4 are equivalent, and this follows from the identities,
sin²(<em>x</em>) + cos²(<em>x</em>) = 1
cos(2<em>x</em>) = cos²(<em>x</em>) - sin²(<em>x</em>)