Question

De acuerdo con la tercera ley de movimiento planetario de Kepler, la masa de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia promedio entre él y un satélite en órbita, pero inversamente proporcional al cuadrado del período orbital del satélite. La Tierra tiene una masa de 75.97×10^24 kg y está a una distancia promedio de 3.84×10^5 km de la Luna, la cual completa una órbita en 27.3 días. Si la Tierra orbita al Sol en 365.3 días y está a una distancia promedio de 1.496×10^8 km, ¿cuál es la masa del Sol?

Answer 1

Answer:

La masa del Sol es $2.509\times 10^{31}$ kilogramos.

Step-by-step explanation:

Tras una lectura cuidadosa al enunciado, tenemos que la Tercera Ley de Kepler queda descrita por la siguiente relación:

$M \propto \frac{r^{3}}{T^{2}}$

$M = k\cdot \frac{r^{3}}{T^{2}}$ (Eq. 1)

Donde:

$r$ - Distancia entre los centros del planeta y el satélite, medido en kilómetros.

$T$ - Período oribital del satélite, medido en días.

$k$ - Constante de proporcionalidad, medida en kilogramo-días cuadrados por kilómetro cúbico.

$M$ - Masa del planeta, medida en kilogramos.

Podemos obtener la masa del Sol mediante la siguiente relación:

$\frac{M_{S}}{M_{E}} = \frac{\frac{r_{E}^{3}}{T_{E}^{2}} }{\frac{r_{M}^{3}}{T_{M}^{2}} }$

$\frac{M_{S}}{M_{E}} = \left(\frac{T_{M}}{T_{E}} \right)^{2}\cdot \left(\frac{r_{E}}{r_{M}} \right)^{3}$ (Eq. 2)

Donde:

$T_{M}$, $T_{E}$ - Períodos orbitales de la Luna y la Tierra, medidos en días.

$r_{E}$, $r_{M}$ - Distancias entre la Tierra y el Sol, así como entre la Luna y la Tierra, medidas en kilómetros.

$M_{S}$, $M_{E}$ - Masas del Sol y la Tierra, medidos en kilogramos.

Si $M_{E} = 75.97\times 10^{24}\,kg$, $T_{E} = 365.3\,d$, $T_{M} = 27.3\,d$, $r_{M} = 3.84\times 10^{5}\,km$ y $r_{E} = 1.496\times 10^{8}\,km$, entonces tenemos que la masa del Sol es:

$M_{S} = \left(\frac{T_{M}}{T_{E}} \right)^{2}\cdot \left(\frac{r_{E}}{r_{M}} \right)^{3}\cdot M_{E}$

$M_{S} = \left(\frac{27.3\,d}{365.3\,d} \right)^{2}\cdot \left(\frac{1.496\times 10^{8}\,km}{3.84\times 10^{5}\,km} \right)^{3}\cdot (75.97\times 10^{24}\,kg)$

$M_{S} = 2.509\times 10^{31}\,kg$

La masa del Sol es $2.509\times 10^{31}$ kilogramos.