First notice that
<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6 = (<em>x</em> + 3) (<em>x</em> + 2)
so you can rewrite everything with a common denominator:
5 / (<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6) + 7 / (<em>x</em> + 2) = 6 / (<em>x</em> + 3)
5 / (<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6) + 7 (<em>x</em> + 3) / ((<em>x</em> + 2) (<em>x</em> + 3)) = 6 (<em>x</em> + 2) / ((<em>x</em> + 3) (<em>x</em> + 2))
5 / (<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6) + 7 (<em>x</em> + 3) / (<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6) = 6 (<em>x</em> + 2) / (<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6)
(5 + 7 (<em>x</em> + 3)) / (<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6) = 6 (<em>x</em> + 2) / (<em>x</em> ² + 5<em>x</em> + 6)
As long as <em>x</em> ≠ -3 or <em>x</em> ≠ -2, the denominators are never zero, so we can cancel them and be left with
5 + 7 (<em>x</em> + 3) = 6 (<em>x</em> + 2)
Solving for <em>x</em> is easy from here:
5 + 7<em>x</em> + 21 = 6<em>x</em> + 12
7<em>x</em> - 6<em>x</em> = 12 - 5 - 21
<em>x</em> = -14
