Question

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Answer 1

Answer:

(D)  $\displaystyle \frac{12}{1 + ln8}$

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

1. Brackets
2. Parenthesis
3. Exponents
4. Multiplication
5. Division
6. Addition
7. Subtraction

• Left to Right

Algebra I

• Functions
• Function Notation

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                       $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Integration

Integration Rule [Fundamental Theorem of Calculus 2]:                                           $\displaystyle \frac{d}{dx}[\int\limits^x_a {f(t)} \, dt] = f(x)$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle f(x) = \int\limits^{x^3}_1 {\frac{1}{1 + ln(t)}} \, dt$

Step 2: Differentiate

1. Chain Rule:                                                                                                       $\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \bigg[ \int\limits^{x^3}_1 {\frac{1}{1 + ln(t)}} \, dt \bigg] \cdot \frac{d}{dx}[x^3]$
2. Integration Rule - Fundamental Theorem of Calculus 2:                              $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{1 + ln(x^3)} \cdot \frac{d}{dx}[x^3]$
3. Basic Power Rule:                                                                                             $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{1 + ln(x^3)} \cdot 3x^{3 - 1}$
4. Simplify:                                                                                                             $\displaystyle f'(x) = \frac{3x^2}{1 + ln(x^3)}$

Step 3: Evaluate

1. Substitute in x [Derivative]:                                                                              $\displaystyle f'(2) = \frac{3(2)^2}{1 + ln(2^3)}$
2. Exponents:                                                                                                        $\displaystyle f'(2) = \frac{3(4)}{1 + ln(8)}$
3. Multiply:                                                                                                             $\displaystyle f'(2) = \frac{12}{1 + ln(8)}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

Book: College Calculus 10e