Recall that the tangent function is defined by
tan(<em>x</em>) = sin(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>)
Also recall the double angle identity for sine,
sin(2<em>x</em>) = 2 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
Then the equation is the same as
3 sin(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>) = 4 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
Move everything to one side to prepare to factorize:
3 sin(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>) - 4 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) = 0
sin(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>) (3 - 4 cos²(<em>x</em>)) = 0
As long as cos(<em>x</em>) ≠ 0, we can omit the term in the denominator, so we're left with
sin(<em>x</em>) (3 - 4 cos²(<em>x</em>)) = 0
and so
sin(<em>x</em>) = 0 <u>or</u> 3 - 4 cos²(<em>x</em>) = 0
sin(<em>x</em>) = 0 <u>or</u> cos²(<em>x</em>) = 3/4
sin(<em>x</em>) = 0 <u>or</u> cos(<em>x</em>) = ±√3/2
On the interval [0, 2<em>π</em>),
• sin(<em>x</em>) = 0 for <em>x</em> = 0 and <em>x</em> = <em>π</em>
• cos(<em>x</em>) = √3/2 for <em>x</em> = <em>π</em>/6 and <em>x</em> = 11<em>π</em>/6
• cos(<em>x</em>) = -√3/2 for <em>x</em> = 5<em>π</em>/6 and <em>x</em> = 7<em>π</em>/6
(None of these <em>x</em> make cos(<em>x</em>) = 0, so we don't have to omit any extraneous solutions.)
