The sign is held in equilibrium. Using Newton's second law, we set up the equations of the net forces acting on the sign in the horizontal and vertical directions:
∑ <em>F</em> (horizontal) = <em>T₁ </em>cos(29.5°) - <em>T₂</em> cos(44.5°) = 0
(right is positive, left is negative)
∑ <em>F</em> (vertical) = <em>T₁ </em>sin(29.5°) + <em>T₂</em> sin(44.5°) - 215 N = 0
(up is positive, down is negative)
Solve the system of equations. I use elimination here:
• Multiply the first equation by sin(29.5°) and the second by cos(29.5°):
sin(29.5°) (<em>T₁ </em>cos(29.5°) - <em>T₂</em> cos(44.5°)) = 0
cos(29.5°) (<em>T₁ </em>sin(29.5°) + <em>T₂</em> sin(44.5°) - 215 N) = 0
<em>T₁ </em>cos(29.5°) sin(29.5°) - <em>T₂</em> cos(44.5°) sin(29.5°) = 0
<em>T₁ </em>cos(29.5°) sin(29.5°) + <em>T₂</em> cos(29.5°) sin(44.5°) = (215 N) cos(29.5°)
• Subtract the first equation from the second to eliminate <em>T₁</em> :
<em>T₂</em> cos(29.5°) sin(44.5°) - (- <em>T₂</em> cos(44.5°) sin(29.5°)) = (215 N) cos(29.5°)
• Solve for <em>T₂</em> :
<em>T₂</em> (cos(29.5°) sin(44.5°) + cos(44.5°) sin(29.5°)) = (215 N) cos(29.5°)
<em>T₂</em> sin(74.0°) = (215 N) cos(29.5°)
… … … (using the fact that sin(<em>x</em> + <em>y</em>) = sin(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) + cos(<em>y</em>) sin(<em>x</em>))
<em>T₂</em> = (215 N) cos(29.5°) / sin(74.0°)
<em>T₂</em> ≈ 195 N
• Solve for <em>T₁</em> :
<em>T₁ </em>cos(29.5°) - <em>T₂</em> cos(44.5°) = 0
<em>T₁ </em>cos(29.5°) = <em>T₂</em> cos(44.5°)
<em>T₁ </em>= <em>T₂</em> cos(44.5°) / cos(29.5°)
<em>T₁</em> ≈ 160. N