Let <em>a</em> be the first term in the arithmetic progression. Then each successive term differs from <em>a</em> by a fixed number <em>c</em>, so that
• first term = <em>a</em>
• second term = <em>a</em> + <em>c</em>
• third term = (<em>a</em> + <em>c</em>) + <em>c</em> = <em>a</em> + 2<em>c</em>
• fourth term = (<em>a</em> + 2<em>c</em>) + <em>c</em> = <em>a</em> + 3<em>c</em>
and so on. In general, the <em>n</em>-th term in the AP is <em>a</em> + (<em>n</em> - 1) <em>c</em>.
The sum of the 3rd and 7th terms is 38, so that
(<em>a</em> + 2<em>c</em>) + (<em>a</em> + 6<em>c</em>) = 38
==> 2<em>a</em> + 8<em>c</em> = 38
==> <em>a</em> + 4<em>c</em> = 19 … … … [1]
The 9th term is 37, so
<em>a</em> + 8<em>c</em> = 37 … … … [2]
Subtracting [1] from [2] eliminates <em>a</em> and lets you solve for <em>c</em> :
(<em>a</em> + 8<em>c</em>) - (<em>a</em> + 4<em>c</em>) = 37 - 19
4<em>c</em> = 18
<em>c</em> = 18/4 = 9/2
Solve for <em>a</em> using either equations [1] or [2] :
<em>a</em> + 8 (9/2) = 37
<em>a</em> + 36 = 37
<em>a</em> = 1
Then the <em>n</em>-th term in the AP is 1 + 9/2 (<em>n</em> - 1) or 9/2 n - 7/2, where <em>n</em> ≥ 1.
