We want to find a polynomial
<em>f(x)</em> = <em>a</em> <em>x</em>³ + <em>b</em> <em>x</em>² + <em>c</em> <em>x</em> + <em>d</em>
such that the roots of <em>f</em> are <em>x</em> = -3, <em>x</em> = -1, and <em>x</em> = 4, and <em>f(x)</em> takes on a value of -24 when <em>x</em> = -2.
The factor theorem for polynomials tells us that we can factorize <em>f(x)</em> as
<em>a</em> <em>x</em>³ + <em>b</em> <em>x</em>² + <em>c</em> <em>x</em> + <em>d</em> = <em>a</em> (<em>x</em> + 3) (<em>x</em> + 1) (<em>x</em> - 4)
Expand the right side:
(<em>x</em> + 3) (<em>x</em> + 1) (<em>x</em> - 4) = <em>x</em>³ - 13<em>x</em> - 12
So we have
<em>a</em> <em>x</em>³ + <em>b</em> <em>x</em>² + <em>c</em> <em>x</em> + <em>d</em> = <em>a x</em>³ - 13<em>a</em> <em>x</em> - 12<em>a</em>
<em />
In order for both sides to be equal, the coefficients of both polynomials on terms of the same degree must be equal. This means
<em>a</em> = <em>a</em> (of course)
<em>b</em> = 0 (there is no <em>x</em>² term on the right)
<em>c</em> = -13<em>a</em>
<em>d</em> = -12<em>a</em>
<em />
We also have that <em>f</em> (-2) = -24, which means
<em>f</em> (-2) = <em>a</em> (-2 + 3) (-2 + 1) (-2 - 4)
-24 = 6<em>a</em>
<em>a</em> = -4
which in turn tells us that <em>c</em> = 52 and <em>d</em> = 48.
So we found
<em>f(x)</em> = -4<em>x</em>³ + 52<em>x</em> + 48
