Question

Find dy/dx of the function y = √x sec*-1 (√x)​

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = \frac{arcsec(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2|\sqrt{x}|\sqrt{x - 1}}$

General Formulas and Concepts:

Algebra I

• Exponential Rule [Rewrite]:                                                                           $\displaystyle b^{-m} = \frac{1}{b^m}$
• Exponential Rule [Root Rewrite]:                                                                 $\displaystyle \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Product Rule]:                                                                             $\displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                 $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Arctrig Derivative:                                                                                                 $\displaystyle \frac{d}{dx}[arcsec(u)] = \frac{u'}{|u|\sqrt{u^2 - 1}}$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle y = \sqrt{x}sec^{-1}(\sqrt{x})$

Step 2: Differentiate

1. Rewrite:                                                                                                         $\displaystyle y = \sqrt{x}arcsec(\sqrt{x})$
2. Product Rule:                                                                                                $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[\sqrt{x}]arcsec(\sqrt{x}) + \sqrt{x}\frac{d}{dx}[arcsec(\sqrt{x})]$
3. Chain Rule:                                                                                                     $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[\sqrt{x}]arcsec(\sqrt{x}) + \bigg[ \sqrt{x}\frac{d}{dx}[arcsec(\sqrt{x})] \cdot \frac{d}{dx}[\sqrt{x}] \bigg]$
4. Rewrite [Exponential Rule - Root Rewrite]:                                                 $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[x^\bigg{\frac{1}{2}}]arcsec(\sqrt{x}) + \bigg[ \sqrt{x}\frac{d}{dx}[arcsec(\sqrt{x})] \cdot \frac{d}{dx}[x^\bigg{\frac{1}{2}}] \bigg]$
5. Basic Power Rule:                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{1}{2}x^\bigg{\frac{1}{2} - 1}arcsec(\sqrt{x}) + \bigg[ \sqrt{x}\frac{d}{dx}[arcsec(\sqrt{x})] \cdot \frac{1}{2}x^\bigg{\frac{1}{2} - 1} \bigg]$
6. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{1}{2}x^\bigg{\frac{-1}{2}}arcsec(\sqrt{x}) + \bigg[ \sqrt{x}\frac{d}{dx}[arcsec(\sqrt{x})] \cdot \frac{1}{2}x^\bigg{\frac{-1}{2}} \bigg]$
7. Rewrite [Exponential Rule - Rewrite]:                                                           $\displaystyle y' = \frac{1}{2x^\bigg{\frac{1}{2}}}arcsec(\sqrt{x}) + \bigg[ \sqrt{x}\frac{d}{dx}[arcsec(\sqrt{x})] \cdot \frac{1}{2x^\bigg{\frac{1}{2}}} \bigg]$
8. Rewrite [Exponential Rule - Root Rewrite]:                                                 $\displaystyle y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}arcsec(\sqrt{x}) + \bigg[ \sqrt{x}\frac{d}{dx}[arcsec(\sqrt{x})] \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \bigg]$
9. Arctrig Derivative:                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}arcsec(\sqrt{x}) + \bigg[ \sqrt{x}\frac{1}{|\sqrt{x}|\sqrt{(\sqrt{x})^2 - 1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \bigg]$
10. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y' = \frac{arcsec(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2|\sqrt{x}|\sqrt{x - 1}}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Derivatives

Book: College Calculus 10e

Answer 2

Hi there!

$\large\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}sec^{-1}(\sqrt{x}) + \frac{1}{2|\sqrt{x}|\sqrt{{x} - 1}}}$

$y = \sqrt{x} * sec^{-1}(-\sqrt{x}})$

Use the chain rule and multiplication rules to solve:

g(x) * f(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)

g(f(x)) = g'(f(x)) * 'f(x))

Thus:

f(x) = √x

g(x) = sec⁻¹ (√x)

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}sec^{-1}(\sqrt{x}) + \sqrt{x} * \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}^{2} - 1}} * \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Simplify:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}sec^{-1}(\sqrt{x}) + \sqrt{x} * \frac{1}{2|x|\sqrt{{x} - 1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}sec^{-1}(\sqrt{x}) + \frac{1}{2|\sqrt{x}|\sqrt{{x} - 1}}$