Question

Un acróbata de masa M, se impulsa hacia arriba con una velocidad v0 desde un

Answer 1

Answer:

La altura máxima que alcanzan el mono y el acróbata es $z = \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{M}{M+m} \right)\cdot v_{o}^{2}+\left(1-\frac{M\cdot g}{M+m} \right)\cdot h$.

Explanation:

Asumamos que tanto el acróbata, el mono y el sistema acróbata-mono son conservativos y que el acróbata comienza su acción a una altura de cero. El estudio se divide en dos etapas: (i) El acróbata se dirige al mono, (ii) El acróbata recoge al mono y alcanzan una altura máxima.

Para resolver esta cuestión, nos valemos del Principio de Conservación de la Energía.

Parte I

La energía cinética traslacional inicial ($K_{1,a}$) es igual a la suma de la energía cinética traslacional final ($K_{2, a}$) y la energía potencial gravitacional final ($U_{g,2,a}$).

$K_{1,a} = K_{2,a} + U_{g,2,a}$ (1)

$\frac{1}{2}\cdot M \cdot v_{o}^{2} = \frac{1}{2}\cdot M\cdot v_{1}^{2} + M\cdot g \cdot h$ (1b)

Donde:

$M$ - Masa del acróbata.

$g$ - Constante gravitacional.

$v_{o}$ - Rapidez inicial del acróbata.

$v_{1}$ - Rapidez del acróbata justo antes de recoger al mono.

$h$ - Altura inicial del mono.

Parte II

La suma de las energías iniciales cinética traslacional ($K_{2, a}$) y potencial gravitacional de acróbata ($U_{g,2,a}$) y la energía inicial potencial gravitacional del mono ($U_{g,2,m}$) es igual a la suma de las energías potenciales gravitacionales iniciales del sistema acróbata-mono ($U_{g,3,a+m}$), es decir:

$K_{2,a} + U_{g,2,a}+U_{g,2,m} = U_{g,3,a+m}$ (2)

$\frac{1}{2}\cdot M\cdot v_{1}^{2} + (M+m)\cdot g \cdot h = (M+m)\cdot g \cdot z$ (2b)

Donde:

$m$ - Masa del mono.

$z$ - Altura máxima del sistema acróbata-mono.

De (1b) tenemos que la rapidez del acróbata justo antes de recoger al mono es:

$\frac{1}{2}\cdot M \cdot v_{o}^{2} = \frac{1}{2}\cdot M\cdot v_{1}^{2} + M\cdot g \cdot h$

$v_{o}^{2} = v_{1}^{2}+2\cdot g\cdot h$

$v_{1} = \sqrt{v_{o}^{2}-2\cdot g\cdot h}$

Finalmente, la altura máxima alcanzada por el sistema acróbata-mono es:

$\frac{1}{2}\cdot M\cdot v_{1}^{2} + (M+m)\cdot g \cdot h = (M+m)\cdot g \cdot z$

$z = \frac{M\cdot v_{1}^{2}}{2\cdot (M+m)\cdot g}+h$

$z = \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{M}{M+m} \right)\cdot (v_{o}^{2}-2\cdot g\cdot h)+ h$

$z = \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{M}{M+m} \right)\cdot v_{o}^{2}+\left(1-\frac{M\cdot g}{M+m} \right)\cdot h$

La altura máxima que alcanzan el mono y el acróbata es $z = \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{M}{M+m} \right)\cdot v_{o}^{2}+\left(1-\frac{M\cdot g}{M+m} \right)\cdot h$.