Given that <em>y</em>₁<em>(x)</em> = <em>x</em> is a solution to the given second-order ODE, assume a second solution of the form
<em>y</em>₂<em>(x)</em> = <em>y</em>₁<em>(x)</em> <em>v(x)</em> = <em>x</em> <em>v(x)</em>
Take the first two derivatives and substitute this solution into the ODE:
<em>y</em>₂ = <em>x</em> <em>v</em>
<em>y</em>₂<em>'</em> = <em>x</em> <em>v'</em> + <em>v</em>
<em>y</em>₂<em>''</em> = (<em>x</em> <em>v''</em> + <em>v' </em>) + <em>v'</em> = <em>x</em> <em>v''</em> + 2 <em>v'</em>
→ (1 - <em>x</em> ²) <em>y</em>₂<em>''</em> - 2 <em>x y</em>₂<em>'</em> + 2 <em>y</em>₂ = 0
→ (1 - <em>x</em> ²) (<em>x</em> <em>v''</em> + 2 <em>v'</em> ) - 2 <em>x </em>(<em>x</em> <em>v'</em> + <em>v</em>) + 2 <em>x v</em> = 0
→ (<em>x</em> - <em>x</em> ³) <em>v''</em> + (2 - 4 <em>x</em> ²) <em>v'</em> = 0
Next, reduce the order by substituting <em>w(x)</em> = <em>v'(x)</em> and <em>w'(x)</em> = <em>v''(x)</em> :
→ (<em>x</em> - <em>x</em> ³) <em>w'</em> + (2 - 4 <em>x</em> ²) <em>w</em> = 0
and now you have a linear equation in <em>w</em>. Solve for <em>w(x)</em> however you like; I'll just separate variables.
Write <em>w'(x)</em> = d<em>w</em>/d<em>x</em>, then separate variables as
(<em>x</em> - <em>x</em> ³) d<em>w</em>/d<em>x</em> + (2 - 4 <em>x</em> ²) <em>w</em> = 0
(<em>x</em> - <em>x</em> ³) d<em>w</em>/d<em>x</em> = (4<em>x</em> ² - 2) <em>w</em>
d<em>w</em>/<em>w</em> = (4<em>x</em> ² - 2) / (<em>x</em> - <em>x</em> ³) d<em>x</em>
Integrate both sides:
∫ d<em>w</em>/<em>w</em> = (4<em>x</em> ² - 2) / (<em>x</em> - <em>x</em> ³) d<em>x</em>
ln|<em>w</em>| = ∫ (4<em>x</em> ² - 2) / (<em>x</em> - <em>x</em> ³) d<em>x</em>
<em />
For the remaining integral, expand the integrand into partial fractions.
<em>x</em> - <em>x</em> ³ = <em>x</em> (1 - <em>x</em> ²) = <em>x</em> (1 - <em>x</em>) (1 + <em>x</em>)
→ (4<em>x</em> ² - 2) / (<em>x</em> - <em>x</em> ³) = <em>a </em>/<em>x</em> + <em>b </em>/ (1 - <em>x</em>) + <em>c </em>/ (1 + <em>x</em>)
→ 4<em>x</em> ² - 2 = <em>a</em> (1 - <em>x</em> ²) + <em>b x</em> (1 + <em>x</em>) + <em>c</em> <em>x</em> (1 - <em>x</em>)
→ 4<em>x</em> ² - 2 = (-<em>a</em> + <em>b</em> - <em>c</em>) <em>x</em> ² + (<em>b</em> + <em>c</em>) <em>x</em> + <em>a</em>
→ -<em>a</em> + <em>b</em> - <em>c</em> = 4, <em>b</em> + <em>c</em> = 0, <em>a</em> = -2
→ <em>a</em> = -2, <em>b</em> = 1, <em>c</em> = -1
→ (4<em>x</em> ² - 2) / (<em>x</em> - <em>x</em> ³) = -2/<em>x</em> + 1 / (1 - <em>x</em>) - 1 / (1 + <em>x</em>)
Then
ln|<em>w</em>| = ∫ (-2/<em>x</em> + 1 / (1 - <em>x</em>) - 1 / (1 + <em>x</em>)) d<em>x</em>
ln|<em>w</em>| = -2 ln|<em>x</em>| - ln|1 - <em>x</em>| - ln|1 + <em>x</em>| + <em>C</em>
ln|<em>w</em>| = -ln|<em>x</em> ² (1 - <em>x</em> ²)| + <em>C</em>
exp(ln|<em>w</em>|) = exp(-ln|<em>x</em> ² (1 - <em>x</em> ²)| + <em>C </em>)
<em>w</em> = <em>C</em> / (<em>x</em> ² (1 - <em>x</em> ²))
<em>v'</em> = <em>C</em> / (<em>x</em> ² (1 - <em>x</em> ²))
Solve for <em>v(x)</em> by integrating both sides, expanding the right side into partial fractions again:
<em>x</em> ² (1 - <em>x</em> ²) = <em>x</em> ² (1 - <em>x</em>) (1 + <em>x</em>)
→ 1 / (<em>x</em> ² (1 - <em>x</em> ²)) = <em>a</em> / <em>x</em> + <em>b</em> / <em>x</em> ² + <em>c</em> / (1 - <em>x</em>) + <em>d</em> / (1 + <em>x</em>)
→ 1 = <em>a x </em>(1 - <em>x</em> ²) + <em>b</em> (1 - <em>x</em> ²) + <em>c</em> <em>x</em> ² (1 + <em>x</em>) + <em>d</em> <em>x </em>² (1 - <em>x</em>)
→ 1 = (-<em>a</em> + <em>c</em> - <em>d</em>) <em>x</em> ³ + (-<em>b</em> + <em>c</em> + <em>d</em>) <em>x</em> ² + <em>a</em> <em>x</em> + <em>b</em>
→ -<em>a</em> + <em>c</em> - <em>d</em> = 0, -<em>b</em> + <em>c</em> + <em>d</em> = 0, <em>a</em> = 0, <em>b</em> = 1
→ <em>a</em> = 0, <em>b</em> = 1, <em>c</em> = 1/2, <em>d</em> = 1/2
→ 1 / (<em>x</em> ² (1 - <em>x</em> ²)) = 1/<em>x</em> ² + 1/2 (1 / (1 - <em>x</em>) + 1 / (1 + <em>x</em>))
d<em>v</em>/d<em>x</em> = <em>C</em> (1/<em>x</em> ² + 1/2 (1 / (1 - <em>x</em>) + 1 / (1 + <em>x</em>)))
d<em>v</em> = <em>C</em> (1/<em>x</em> ² + 1/2 (1 / (1 - <em>x</em>) + 1 / (1 + <em>x</em>))) d<em>x</em>
Integrate both sides:
∫ d<em>v</em> = ∫ <em>C</em> (1 / <em>x</em> ² + 1/2 (1 / (1 - <em>x</em>) + 1 / (1 + <em>x</em>))) d<em>x</em>
<em>v</em> = <em>C</em>₁ (-1/<em>x</em> - 1/2 ln|1 - <em>x</em>| + 1/2 ln|1 + <em>x</em>|) + <em>C</em>₂
<em>v</em> = <em>C</em>₁ (1/2 ln|(1 + <em>x</em>) / (1 - <em>x</em>)| - 1/<em>x</em>) + <em>C</em>₂
Solve for <em>y</em>₂<em>(x)</em> by multiplying both sides by <em>x</em> :
<em>y</em>₂ = <em>C</em>₁ (1/2 <em>x </em>ln|(1 + <em>x</em>) / (1 - <em>x</em>)| - 1) + <em>C</em>₂ <em>x</em>
Now, <em>y</em>₁<em>(x)</em> = <em>x</em>, so we can omit the last term from the second solution, giving us
<em>y</em>₂<em>(x)</em> = <em>C</em> (1/2 <em>x </em>ln|(1 + <em>x</em>) / (1 - <em>x</em>)| - 1)