We're given the ODE,
<em>y''</em> + 4<em>y'</em> + 3<em>y</em> = 8<em>t</em> exp(-<em>t </em>) + 6 exp(-<em>t</em> ) - (9<em>t</em> + 6)
(where I denote exp(<em>x</em>) = <em>eˣ </em>)
First determine the characteristic solution:
<em>y''</em> + 4<em>y'</em> + 3<em>y</em> = 0
has characteristic equation
<em>r</em> ² + 4<em>r</em> + 3 = (<em>r</em> + 1) (<em>r</em> + 3) = 0
with roots at <em>r</em> = -1 and <em>r</em> = -3, so the characteristic solution is
<em>y</em> = <em>C</em>₁ exp(-<em>t</em> ) + <em>C</em>₂ exp(-3<em>t</em> )
For the non-homogeneous equation, assume two ansatz solutions
<em>y</em>₁ = (<em>at</em> ² + <em>bt</em> + <em>c</em>) exp(-<em>t </em>)
and
<em>y</em>₂ = <em>at</em> + <em>b</em>
<em />
• <em>y''</em> + 4<em>y'</em> + 3<em>y</em> = 8<em>t</em> exp(-<em>t </em>) + 6 exp(-<em>t</em> ) … … … [1]
Compute the derivatives of <em>y</em>₁ :
<em>y</em>₁ = (<em>at</em> ² + <em>bt</em> + <em>c</em>) exp(-<em>t </em>)
<em>y</em>₁' = (2<em>at</em> + <em>b</em>) exp(-<em>t </em>) - (<em>at</em> ² + <em>bt</em> + <em>c</em>) exp(-<em>t </em>)
… = (-<em>at</em> ² + (2<em>a</em> - <em>b</em>) <em>t</em> + <em>b</em> - <em>c</em>) exp(-<em>t </em>)
<em>y</em>₁'' = (-2<em>at</em> + 2<em>a</em> - <em>b</em>) exp(-<em>t </em>) - (-<em>at</em> ² + (2<em>a</em> - <em>b</em>) <em>t</em> + <em>b</em> - <em>c</em>) exp(-<em>t </em>)
… = (<em>at</em> ² + (<em>b</em> - 4<em>a</em>) <em>t</em> + 2<em>a</em> - 2<em>b</em> + <em>c</em>) exp(-<em>t</em> )
Substitute them into the ODE [1] to get
→ [(<em>at</em> ² + (<em>b</em> - 4<em>a</em>) <em>t</em> + 2<em>a</em> - 2<em>b</em> + <em>c</em>) + 4 (-<em>at</em> ² + (2<em>a</em> - <em>b</em>) <em>t</em> + <em>b</em> - <em>c</em>) + 3 (<em>at</em> ² + <em>bt</em> + <em>c</em>)] exp(-<em>t</em> ) = 8<em>t</em> exp(-<em>t </em>) + 6 exp(-<em>t</em> )
(<em>at</em> ² + (<em>b</em> - 4<em>a</em>) <em>t</em> + 2<em>a</em> - 2<em>b</em> + <em>c</em>) + 4 (-<em>at</em> ² + (2<em>a</em> - <em>b</em>) <em>t</em> + <em>b</em> - <em>c</em>) + 3 (<em>at</em> ² + <em>bt</em> + <em>c</em>) = 8<em>t</em> + 6
4<em>at</em> + 2<em>a</em> + 2<em>b</em> = 8<em>t</em> + 6
→ 4<em>a</em> = 8 and 2<em>a</em> + 2<em>b</em> = 6
→ <em>a</em> = 2 and <em>b</em> = 1
→ <em>y</em>₁ = (2<em>t</em> ² + <em>t </em>) exp(-<em>t </em>)
(Note that we don't find out anything about <em>c</em>, but that's okay since it would have gotten absorbed into the first characteristic solution exp(-<em>t</em> ) anyway.)
• <em>y''</em> + 4<em>y'</em> + 3<em>y</em> = -(9<em>t</em> + 6) … … … [2]
Compute the derivatives of <em>y</em>₂ :
<em>y</em>₂ = <em>at</em> + <em>b</em>
<em>y</em>₂' = <em>a</em>
<em>y</em>₂'' = 0
Substitute these into [2] :
4<em>a</em> + 3 (<em>at</em> + <em>b</em>) = -9<em>t</em> - 6
3<em>at</em> + 4<em>a</em> + 3<em>b</em> = -9<em>t</em> - 6
→ 3<em>a</em> = -9 and 4<em>a</em> + 3<em>b</em> = -6
→ <em>a</em> = -3 and <em>b</em> = 2
→ <em>y</em>₂ = -3<em>t</em> + 2
Then the general solution to the original ODE is
<em>y(t)</em> = <em>C</em>₁ exp(-<em>t</em> ) + <em>C</em>₂ exp(-3<em>t</em> ) + (2<em>t</em> ² + <em>t </em>) exp(-<em>t </em>) - 3<em>t</em> + 2
Use the initial conditions <em>y</em> (0) = 2 and <em>y'</em> (0) = 2 to solve for <em>C</em>₁ and <em>C</em>₂ :
<em>y</em> (0) = <em>C</em>₁ + <em>C</em>₂ + 2 = 2
→ <em>C</em>₁ + <em>C</em>₂ = 0 … … … [3]
<em>y'(t)</em> = -<em>C</em>₁ exp(-<em>t</em> ) - 3<em>C</em>₂ exp(-3<em>t</em> ) + (-2<em>t</em> ² + 3<em>t</em> + 1) exp(-<em>t </em>) - 3
<em>y'</em> (0) = -<em>C</em>₁ - 3<em>C</em>₂ + 1 - 3 = 2
→ <em>C</em>₁ + 3<em>C</em>₂ = -4 … … … [4]
Solve equations [3] and [4] to get <em>C</em>₁ = 2 and <em>C</em>₂ = -2. Then the particular solution to the initial value problem is
<em>y(t)</em> = -2 exp(-3<em>t</em> ) + (2<em>t</em> ² + <em>t</em> + 2) exp(-<em>t </em>) - 3<em>t</em> + 2
