Answer:
a) El trabajo realizado por esta fuerza mientras el bloque se mueve desde la posición x = + 10 m hasta la posición x = + 20 m es 900 joules.
b) La rapidez del bloque en la posición x = + 20 metros es aproximadamente 5.701 metros por segundo.
Explanation:
a) El trabajo expermentado por el bloque (
), medido en joules, es definida por la siguiente ecuación integral:
(1)
Donde:
,
- Posiciones mínima y máxima del bloque, medidos en metros.
- Fuerza horizontal aplicada al bloque, medida en newtons.
Si conocemos que
,
y
, entonces el trabajo realizado por esta fuerza es:
(2)
![W = 6\int\limits^{20\,m}_{10\,m} x\, dx](https://tex.z-dn.net/?f=W%20%3D%206%5Cint%5Climits%5E%7B20%5C%2Cm%7D_%7B10%5C%2Cm%7D%20x%5C%2C%20dx)
![W = 3\cdot x^{2}\left|\limits_{10\,m}^{20\,m}](https://tex.z-dn.net/?f=W%20%3D%203%5Ccdot%20x%5E%7B2%7D%5Cleft%7C%5Climits_%7B10%5C%2Cm%7D%5E%7B20%5C%2Cm%7D)
![W = 3\cdot [(20\,m)^{2}-(10\,m)^{2}]](https://tex.z-dn.net/?f=W%20%3D%203%5Ccdot%20%5B%2820%5C%2Cm%29%5E%7B2%7D-%2810%5C%2Cm%29%5E%7B2%7D%5D)
![W = 900\,J](https://tex.z-dn.net/?f=W%20%3D%20900%5C%2CJ)
El trabajo realizado por esta fuerza mientras el bloque se mueve desde la posición x = + 10 m hasta la posición x = + 20 m es 900 joules.
b) La rapidez final del bloque se determina mediante de Teorema del Trabajo y la Energía, es decir:
(3)
Donde son
,
las energías cinéticas traslacionales inicial y final, medidos en joules.
Al aplicar la definición de energía cinética traslacional, expandimos y simplificamos la ecuación como sigue:
(4)
Donde:
- Masa del bloque, medido en kilogramos.
,
- Rapideces inicial y final del bloque, medidos en metros por segundo.
![\frac{2\cdot W}{m} = v_{f}^{2}-v_{o}^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%5Ccdot%20W%7D%7Bm%7D%20%3D%20v_%7Bf%7D%5E%7B2%7D-v_%7Bo%7D%5E%7B2%7D)
![v_{f} = \sqrt{\frac{2\cdot W}{m}+v_{o}^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7Bf%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Ccdot%20W%7D%7Bm%7D%2Bv_%7Bo%7D%5E%7B2%7D%7D)
Si conocemos que
,
y
, entonces la rapidez final del bloque es:
![v_{f} = \sqrt{\frac{900\,J}{2\cdot (20\,kg)}+10\,\frac{m^{2}}{s^{2}} }](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7Bf%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B900%5C%2CJ%7D%7B2%5Ccdot%20%2820%5C%2Ckg%29%7D%2B10%5C%2C%5Cfrac%7Bm%5E%7B2%7D%7D%7Bs%5E%7B2%7D%7D%20%20%7D)
![v_{f} \approx 5.701\,\frac{m}{s}](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7Bf%7D%20%5Capprox%205.701%5C%2C%5Cfrac%7Bm%7D%7Bs%7D)
La rapidez del bloque en la posición x = + 20 metros es aproximadamente 5.701 metros por segundo.