Question

. Find the derivative of y = x² – 5x using the definition of the derivative.

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = 2x - 5$

General Formulas and Concepts:

Algebra I

Terms/Coefficients

• Expanding/Factoring

Functions

• Function Notation

Calculus

Limits

Limit Rule [Variable Direct Substitution]:                                                             $\displaystyle \lim_{x \to c} x = c$

Differentiation

• Derivatives
• Derivative Notation
• Definition of a Derivative:                                                                             $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle y = x^2 - 5x$

Step 2: Differentiate

1. Substitute in function [Definition of a Derivative]:                                       $\displaystyle y' = \lim_{h \to 0} \frac{[(x + h)^2 - 5(x + h)] - (x^2 - 5x)}{h}$
2. Expand:                                                                                                         $\displaystyle y' = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2hx + h^2 - 5x - 5h - x^2 + 5x}{h}$
3. Combine like terms:                                                                                     $\displaystyle y' = \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2 - 5h}{h}$
4. Factor:                                                                                                           $\displaystyle y' = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h - 5)}{h}$
5. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y' = \lim_{h \to 0} (2x + h - 5)$
6. Evaluate limit [Limit Rule - Variable Direct Substitution]:                           $\displaystyle y' = 2x + 0 - 5$
7. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle y' = 2x - 5$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentiation