Let <em>D</em> be the random variable denoting the diameter of this shop's bolts, so that <em>D</em> is normally distributed with <em>µ</em> = 5.75 and <em>σ</em> = 0.07. The top 6% and bottom 6% of bolts have diameters <em>d</em>₁ and <em>d</em>₂ such that
P(<em>d</em>₁ < <em>D</em> < <em>d</em>₂) = P(<em>D</em> < <em>d</em>₂) - P(<em>D</em> < <em>d</em>₁) = 0.94 - 0.06
i.e. <em>d</em>₂ is the 94th percentile and <em>d</em>₁ is the 6th percentile, for which
P(<em>D</em> < <em>d</em>₂) = 0.94
P(<em>D</em> < <em>d</em>₁) = 0.06
Convert <em>D</em> to a random variable <em>Z</em> following the standard normal distribution using
<em>Z</em> = (<em>D</em> - <em>µ</em>) / <em>σ</em>
Then
P(<em>D</em> < <em>d</em>₂) = P((<em>D</em> - 5.75) / 0.07 < (<em>d</em>₂ - 5.75) / 0.07)
0.94 = P(<em>Z</em> < (<em>d</em>₂ - 5.75) / 0.07)
→ (<em>d</em>₂ - 5.75) / 0.07 ≈ 1.55477
→ <em>d</em>₂ ≈ 5.86
P(<em>D</em> < <em>d</em>₁) = P((<em>D</em> - 5.75) / 0.07 < (<em>d</em>₁ - 5.75) / 0.07)
0.06 = P(<em>Z</em> < (<em>d</em>₁ - 5.75) / 0.07)
→ (<em>d</em>₁ - 5.75) / 0.07 ≈ -1.55477
→ <em>d</em>₁ ≈ 5.64
So bolts with a diameter between 5.64 mm and 5.86 mm are acceptable.
