Question

El sistema de la figura está formado por una línea semi-infinita, una línea de longitud finita de longitud “a” (ambas uniformes, colineales, horizontales y de densidad λ); un disco uniforme horizontal de densidad σ y una pequeña carga Q (todos situados a una distancia a del punto P). Cuánta carga, qo, debe tener una pequeña esfera de masa = 0,25 g colocada en el punto P, para se acelere con una magnitud de 6,25x108 m/s2. Considere a=2 cm, Q = 8ηC, λ = 0,5μC/m y σ = 8,5 μC/m2.

Answer 1

Answer:

$E_{r}=1,19*10^{5}$  $\alpha =19,2$° $q=1,31C$

Explanation:

Se descomponen los diferentes campos eléctricos sobre el punto P, en cuatro casos, cada uno correspondiente a un eje de coordenadas x(i) o y(j).

Campo eléctrico producido por una carga Q distribuida superficialmente “σ” en disco de radio R, sobre un punto “P” que está a una distancia “y” sobre su eje de simetría axial:

$E_{1} =k*2*\pi *\sigma *(1- \frac{y}{\sqrt{y^{2} +r^{2}}})$ Donde "k" es la constante de la ley de Coulomb, sigma (δ) es la densidad superficial, y es la distancia en el eje "y" en el que se encuentra el disco de P, y "r" es el radio del disco. También sabemos que el campo resultante tiene como dirección el eje negativo en y, que es (-j). Sustituyendo queda:

$E_{1} =(9*10^{9})*2*\pi *(8,5*10^{-6}) *(1- \frac{(2*10^{-2})}{\sqrt{(2*10^{-2})^{2} +(2*10^{-2} )^{2}}}) (-j)$

Entonces:

$E_{1} =1,41*10^{5} (-j) N/C$

Campo eléctrico producido por una carga Q distribuida linealmente “λ” a lo largo de una barra de longitud “L”, sobre un punto “P” que está a una distancia “d” sobre su eje de simetría longitudinal:

$E_{2}=\frac{k*\lambda*L}{d(L+d)}$ Donde "k" es la constante de la ley de Coulomb, "lambda" (λ) es la densidad lineal, "L" es la longitud de la línea, y "d" es la distancia entre el punto P y la línea. Sabemos también que el campo eléctrico resultante tiene como dirección el eje negativo en x, que es (-i).

Sustituyendo tenemos:

$E_{2}=\frac{(9*10^{9})*(0.5*10^{-6} )*(2*10^{-2})}{(2*10^{-2})((2*10^{-2})+(2*10^{-2}))} (-i)$

Entonces:

$E_{2}=1,13*10^{5}(-i) N/C$

Campo eléctrico resultante de una carga en un punto específico:

$E_{3}=\frac{k*|Q|}{r^{2} }$ Donde "k" es la constante de la ley de Coulomb, "Q" es el valor absoluto de la carga, y "r" es la distancia entre la carga y el punto P. Sabemos también que el campo eléctrico resultante tiene como dirección el eje positivo en y, que es (j).

Sustituyendo tenemos:

$E_{3}=\frac{(9*10^{9} )*(8*10^{-9} )}{(2*10^{-2})^{2} }(j)$

Entonces:

$E_{3}=1,8*10^{5}(j)N/C$

Campo eléctrico producido por una carga Q distribuida linealmente “λ” a lo largo de una barra de longitud “L”, sobre un punto “P” que está a una distancia “d” sobre su eje de simetría longitudinal (LÍNEA SEMI-INFINITA):

$E_{4}=\frac{k*\lambda}{d}$ Donde "k" es la constante de la ley de Coulomb, "lambda" es la densidad linear y "d" es la distancia entre la línea y el punto P. Sabemos también que el campo eléctrico resultante tiene como dirección el eje positivo en y, que es (i).

Sustituyendo tenemos:

$E_{4}=2,25*10^{5} (i)N/C$

Calcular el campo eléctrico resultante en cada eje:

Una vez que calculamos cada campo eléctrico resultante, debemos hacer las sumas algebraicas, recordando que cuando una fuerza va hacia arriba o hacia la derecha es positiva, y si va hacia abajo o hacia la izquierda es negativa.

$E_{x} = E_{4} -E_{2}$

$E_{x} = (2,25*10^{5})-(1,13*10^{5})$

$E_{x} = 1,12*10^{5} (i)N/C$

$E_{y} = E_{3} -E_{1}$

$E_{y} = (1,8*10^{5})-(1,41*10^{5})$

$E_{y} =3,9*10^{4} (j)N/C$

Calcular el campo eléctrico resultante:

Una vez que tenemos el campo eléctrico resultante en cada eje, podemos calcular el campo eléctrico resultante entre ellos, utilizando la tangente para calcular el ángulo resultante.

$Tng\alpha =\frac{E_{y}}{E_{x}}$

$Tng\alpha =\frac{(3,9*10^{4})}{(1,12*10^{5})}$

$Tng\alpha =0,35$

$\alpha =arctng(0,35)$

$\alpha =19,2$°

$Sen\alpha =\frac{E_{y} }{E_{r}}$

$E_{r}=\frac{E_{y}}{Sen\alpha }$

$E_{r}=\frac{(3,9*10^{4})}{Sen(19,2)}$

$E_{r}=1,19*10^{5} N/C$

Calcular el valor de q:

Despejamos el valor de q a partir de la fórmula de aceleración que es:

$a=\frac{q*E}{m}$ sabiendo que "a" es la aceleración, "q" es el valor de la carga, "E" es el valor del campo eléctrico y "m" es el valor de la masa de la carga.

Despejando queda:

$q=\frac{a*m}{E}$

Sustituyendo queda:

$q=\frac{(6,25*10^{8})*(2,5*10^{-4})}{(1,19*10^{5})}$

Entonces, finalmente:

$q=1,31 C$