Let <em>B</em> = <em>a</em> <em>i</em> + <em>b</em> <em>j</em> + <em>c</em> <em>k</em>. Then the cross product of <em>A</em> = <em>i</em> + 2<em>j</em> - <em>k</em> with <em>B</em> is
<em>A</em> × <em>B</em> = ( <em>i</em> + 2<em>j</em> - <em>k </em>) × ( <em>a</em> <em>i</em> + <em>b</em> <em>j</em> + <em>c</em> <em>k</em> )
<em>A</em> × <em>B</em> = <em>a</em> ( <em>i</em> × <em>i</em> ) + 2<em>a</em> ( <em>j</em> × <em>i</em> ) - <em>a</em> ( <em>k</em> × <em>i </em>)
… … … + <em>b</em> ( <em>i</em> × <em>j</em> ) + 2<em>b</em> ( <em>j </em>× <em>j</em> ) - <em>b</em> ( <em>k</em> × <em>j</em> )
… … … + <em>c</em> ( <em>i</em> × <em>k</em> ) + 2<em>c</em> ( <em>j</em> × <em>k</em> ) - <em>c</em> ( <em>k</em> × <em>k</em> )
<em>A</em> × <em>B</em> = 0 - 2<em>a</em> <em>k </em>- <em>a</em> <em>j</em>
… … … + <em>b</em> <em>k</em> + 0 + <em>b</em> <em>i</em>
… … … - <em>c</em> <em>j</em> + 2<em>c</em> <em>i</em> - 0
<em>A</em> × <em>B</em> = (<em>b</em> + 2<em>c</em>) <em>i</em> + (-<em>a</em> - <em>c</em>) <em>j</em> + (<em>b</em> - 2<em>a</em>) <em>k</em>
So we have
3 <em>i</em> - <em>j</em> + 5 <em>k </em>= (<em>b</em> + 2<em>c</em>) <em>i</em> + (<em>c</em> - <em>a</em>) <em>j</em> + (<em>b</em> - 2<em>a</em>) <em>k</em>
which gives us the system of equations,
{ <em>b</em> + 2<em>c</em> = 3
{ -<em>a</em> - <em>c</em> = -1
{ -2<em>a</em> + <em>b</em> = 5
Solve for <em>a</em>, <em>b</em>, and <em>c</em>.
• Eliminate <em>c</em> from the first two equations:
(<em>b</em> + 2<em>c</em>) + 2 (-<em>a</em> - <em>c</em>) = 3 + 2 (-1)
-2<em>a</em> + <em>b</em> = 1
But -2<em>a</em> + <em>b</em> = 5, and 5 ≠ 1, so there is no such vector <em>B</em> that satisfies the cross product!
