Solve the differential equation:
d<em>V</em>/d<em>t</em> = <em>k V</em> → 1/<em>V</em> d<em>V</em>/d<em>t</em> = <em>k</em>
→ d/d<em>t</em> [ln(<em>V</em>)] = <em>k</em>
→ ln(<em>V</em>) = <em>k t</em> + <em>C</em>
→ <em>V</em> (<em>t</em> )= exp(<em>k t</em> + <em>C </em>) = <em>C</em> exp(<em>k t</em> ) = <em>C e </em>ᵏᵗ
At <em>t</em> = 0, the glacier has volume 400 km³ of ice, so
<em>V</em> (0) = 400 → <em>C</em> <em>e</em>⁰ = <em>C</em> = 400
Find when the glacier's volume is 300 km³:
<em>V</em> (<em>t</em> ) = 400 <em>e </em>ᵏᵗ = 300 → <em>e </em>ᵏᵗ = 3/4
→ <em>k t</em> = ln(3/4)
→ <em>t</em> = 1/<em>k</em> ln(3/4)
At this time, the volume is decreasing at a rate of 15 km³/yr, so
<em>V '</em> (<em>t </em>) = <em>C</em> <em>k</em> <em>e </em>ᵏᵗ → <em>V '</em> (1/<em>k</em> ln(3/4)) = 400 <em>k</em> exp(<em>k</em> × 1/<em>k</em> ln(3/4)) = -15
→ 3/4 <em>k</em> = -3/80
→ <em>k</em> = -1/20
Then the volume <em>V</em> (<em>t</em> ) of the glacier at time <em>t</em> is
<em>V</em> (<em>t</em> ) = 400 exp(-1/20 <em>t </em>)
