Answer:
![\rm\displaystyle \displaystyle \displaystyle θ= {60}^{ \circ} , {300}^{ \circ}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%CE%B8%3D%20%20%20%20%7B60%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%2C%20%7B300%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20)
![\rm \displaystyle a = - \frac{ \sqrt{3} }{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 1](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20a%20%3D%20%20%20%20-%20%5Cfrac%7B%20%20%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20%20%20-%201%2C%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%20%20-%201)
Step-by-step explanation:
we are given two <u>coincident</u><u> points</u>
![\displaystyle P( \sin(θ)+2, \tan(θ)-2) \: \text{and } \\ \displaystyle Q(4 \sin ^{2} (θ)+4 \sin(θ) \cos(θ)+2a \cos(θ), 3 \sin(θ)-2 \cos(θ)+a)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%20P%28%20%5Csin%28%CE%B8%29%2B2%2C%20%20%5Ctan%28%CE%B8%29-2%29%20%20%20%5C%3A%20%5Ctext%7Band%20%7D%20%5C%5C%20%20%5Cdisplaystyle%20Q%284%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%20%28%CE%B8%29%2B4%20%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2a%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2C%203%20%5Csin%28%CE%B8%29-2%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2Ba%29)
since they are coincident points
![\rm \displaystyle P( \sin(θ)+2, \tan(θ)-2) = \displaystyle Q(4 \sin ^{2} (θ)+4 \sin(θ )\cos(θ)+2a \cos(θ), 3 \sin(θ)-2 \cos(θ)+a)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20%20P%28%20%5Csin%28%CE%B8%29%2B2%2C%20%20%5Ctan%28%CE%B8%29-2%29%20%20%20%20%3D%20%5Cdisplaystyle%20Q%284%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%20%28%CE%B8%29%2B4%20%5Csin%28%CE%B8%20%29%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2a%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2C%203%20%5Csin%28%CE%B8%29-2%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2Ba%29)
By order pair we obtain:
![\begin{cases} \rm\displaystyle \displaystyle 4 \sin ^{2} (θ)+4 \sin(θ) \cos(θ)+2a \cos(θ) = \sin( \theta) + 2 \\ \\ \displaystyle 3 \sin( \theta) - 2 \cos( \theta) + a = \tan( \theta) - 2\end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%204%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%20%28%CE%B8%29%2B4%20%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2a%20%5Ccos%28%CE%B8%29%20%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%202%20%5C%5C%20%20%20%5C%5C%20%20%5Cdisplaystyle%203%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20-%202%20%20%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%20%2B%20a%20%3D%20%20%5Ctan%28%20%5Ctheta%29%20%20-%202%5Cend%7Bcases%7D)
now we end up with a simultaneous equation as we have two variables
to figure out the simultaneous equation we can consider using <u>substitution</u><u> method</u>
to do so, make a the subject of the equation.therefore from the second equation we acquire:
![\begin{cases} \rm\displaystyle \displaystyle 4 \sin ^{2} (θ)+4 \sinθ \cos(θ)+2a \cos(θ )= \sin( \theta) + 2 \\ \\ \boxed{\displaystyle a = \tan( \theta) - 2 - 3 \sin( \theta) + 2 \cos( \theta) } \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%204%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%20%28%CE%B8%29%2B4%20%5Csin%CE%B8%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2a%20%5Ccos%28%CE%B8%20%29%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%202%20%5C%5C%20%20%20%5C%5C%20%20%5Cboxed%7B%5Cdisplaystyle%20%20a%20%3D%20%20%5Ctan%28%20%5Ctheta%29%20%20-%202%20-%203%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%20%202%20%20%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%7D%20%5Cend%7Bcases%7D)
now substitute:
![\rm\displaystyle \displaystyle 4 \sin ^{2} (θ)+4 \sin(θ) \cos(θ)+2 \cos(θ) \{\tan( \theta) - 2 - 3 \sin( \theta) + 2 \cos( \theta) \}= \sin( \theta) + 2](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%204%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%20%28%CE%B8%29%2B4%20%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2%20%5Ccos%28%CE%B8%29%20%5C%7B%5Ctan%28%20%5Ctheta%29%20%20-%202%20-%203%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%20%202%20%20%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%5C%7D%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%202%20%20)
distribute:
![\rm\displaystyle \displaystyle 4 \sin ^{2}( θ)+4 \sin(θ) \cos(θ)+2 \sin(θ ) - 4\cos( \theta) - 6 \sin( \theta) \cos( \theta) + 4 \cos ^{2} ( \theta) = \sin( \theta) + 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%204%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%28%20%CE%B8%29%2B4%20%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2%20%5Csin%28%CE%B8%20%29%20-%204%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%20-%206%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%20%2B%204%20%20%5Ccos%20%5E%7B2%7D%20%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%202%20%20)
collect like terms:
![\rm\displaystyle \displaystyle 4 \sin ^{2}( θ) - 2\sin(θ) \cos(θ)+2 \sin(θ ) - 4\cos( \theta) + 4 \cos ^{2} ( \theta) = \sin( \theta) + 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%204%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%28%20%CE%B8%29%20-%202%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2%20%5Csin%28%CE%B8%20%29%20-%204%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%20%20%2B%204%20%20%5Ccos%20%5E%7B2%7D%20%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%202%20%20)
rearrange:
![\rm\displaystyle \displaystyle 4 \sin ^{2}( θ) + 4 \cos ^{2} ( \theta) - 2\sin(θ) \cos(θ)+2 \sin(θ ) - 4\cos( \theta) + = \sin( \theta) + 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%204%20%5Csin%20%5E%7B2%7D%28%20%CE%B8%29%20%2B%204%20%5Ccos%20%5E%7B2%7D%20%28%20%5Ctheta%29%20%20-%202%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2%20%5Csin%28%CE%B8%20%29%20-%204%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%2B%20%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%202%20%20)
by <em>Pythagorean</em><em> theorem</em> we obtain:
![\rm\displaystyle \displaystyle 4 - 2\sin(θ) \cos(θ)+2 \sin(θ ) - 4\cos( \theta) = \sin( \theta) + 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%204%20%20-%202%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2%20%5Csin%28%CE%B8%20%29%20-%204%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%20%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%2B%202%20%20)
cancel 4 from both sides:
![\rm\displaystyle \displaystyle - 2\sin(θ) \cos(θ)+2 \sin(θ ) - 4\cos( \theta) = \sin( \theta) - 2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%20%20-%202%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B2%20%5Csin%28%CE%B8%20%29%20-%204%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%20%3D%20%20%5Csin%28%20%5Ctheta%29%20%20%20%20-%202)
move right hand side expression to left hand side and change its sign:
![\rm\displaystyle \displaystyle - 2\sin(θ) \cos(θ)+\sin(θ ) - 4\cos( \theta) + 2 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%20%20-%202%5Csin%28%CE%B8%29%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B%5Csin%28%CE%B8%20%29%20-%204%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%2B%202%20%20%3D%20%200)
factor out sin:
![\rm\displaystyle \displaystyle \sin (θ) (- 2 \cos(θ)+1) - 4\cos( \theta) + 2 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%20%5Csin%20%28%CE%B8%29%20%28-%202%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B1%29%20-%204%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%2B%202%20%20%3D%20%200)
factor out 2:
![\rm\displaystyle \displaystyle \sin (θ) (- 2 \cos(θ)+1) + 2(- 2\cos( \theta) + 1 ) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%20%5Csin%20%28%CE%B8%29%20%28-%202%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B1%29%20%20%2B%202%28-%202%5Ccos%28%20%5Ctheta%29%20%2B%201%20%29%20%3D%20%200)
group:
![\rm\displaystyle \displaystyle ( \sin (θ) + 2)(- 2 \cos(θ)+1) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%28%20%5Csin%20%28%CE%B8%29%20%20%20%2B%202%29%28-%202%20%5Ccos%28%CE%B8%29%2B1%29%20%20%3D%20%200)
factor out -1:
![\rm\displaystyle \displaystyle - ( \sin (θ) + 2)(2 \cos(θ) - 1) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20-%20%20%28%20%5Csin%20%28%CE%B8%29%20%20%20%2B%202%29%282%20%5Ccos%28%CE%B8%29%20-%201%29%20%20%3D%20%200)
divide both sides by -1:
![\rm\displaystyle \displaystyle ( \sin (θ) + 2)(2 \cos(θ) - 1) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%20%20%28%20%5Csin%20%28%CE%B8%29%20%20%20%2B%202%29%282%20%5Ccos%28%CE%B8%29%20-%201%29%20%20%3D%20%200)
by <em>Zero</em><em> product</em><em> </em><em>property</em> we acquire:
![\begin{cases}\rm\displaystyle \displaystyle \sin (θ) + 2 = 0 \\ \displaystyle2 \cos(θ) - 1= 0 \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%20%20%5Csin%20%28%CE%B8%29%20%20%20%2B%202%20%3D%200%20%5C%5C%20%5Cdisplaystyle2%20%5Ccos%28%CE%B8%29%20-%201%3D%20%200%20%5Cend%7Bcases%7D)
cancel 2 from the first equation and add 1 to the second equation since -1≤sinθ≤1 the first equation is false for any value of theta
![\begin{cases}\rm\displaystyle \displaystyle \sin (θ) \neq - 2 \\ \displaystyle2 \cos(θ) = 1\end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%20%20%5Csin%20%28%CE%B8%29%20%20%20%20%20%5Cneq%20%20-%202%20%5C%5C%20%5Cdisplaystyle2%20%5Ccos%28%CE%B8%29%20%3D%20%201%5Cend%7Bcases%7D)
divide both sides by 2:
![\rm\displaystyle \displaystyle \displaystyle \cos(θ) = \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%5Ccos%28%CE%B8%29%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
by unit circle we get:
![\rm\displaystyle \displaystyle \displaystyle θ= {60}^{ \circ} , {300}^{ \circ}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Crm%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%5Cdisplaystyle%20%CE%B8%3D%20%20%20%20%7B60%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%2C%20%7B300%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20)
so when θ is 60° a is:
![\rm \displaystyle a = \tan( {60}^{ \circ} ) - 2 - 3 \sin( {60}^{ \circ} ) + 2 \cos( {60}^{ \circ} )](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20a%20%3D%20%20%5Ctan%28%20%20%7B60%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%29%20%20-%202%20-%203%20%5Csin%28%20%20%7B60%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%29%20%20%20%2B%20%202%20%20%5Ccos%28%20%20%7B60%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%29%20%20)
recall unit circle:
![\rm \displaystyle a = \sqrt{3} - 2 - \frac{ 3\sqrt{3} }{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20a%20%3D%20%20%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20-%202%20-%20%20%5Cfrac%7B%203%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20%20%2B%20%202%20%20%20%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)
simplify which yields:
![\rm \displaystyle a = - \frac{ \sqrt{3} }{2} - 1](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20a%20%3D%20%20%20%20-%20%5Cfrac%7B%20%20%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20%20%20-%201)
when θ is 300°
![\rm \displaystyle a = \tan( {300}^{ \circ} ) - 2 - 3 \sin( {300}^{ \circ} ) + 2 \cos( {300}^{ \circ} )](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20a%20%3D%20%20%5Ctan%28%20%20%7B300%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%29%20%20-%202%20-%203%20%5Csin%28%20%20%7B300%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%29%20%20%20%2B%20%202%20%20%5Ccos%28%20%20%7B300%7D%5E%7B%20%5Ccirc%7D%20%29%20%20)
remember unit circle:
![\rm \displaystyle a = - \sqrt{3} - 2 + \frac{3\sqrt{ 3} }{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20a%20%3D%20%20-%20%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%20-%202%20%20%2B%20%20%20%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B%203%7D%20%7D%7B2%7D%20%20%2B%20%202%20%20%20%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)
simplify which yields:
![\rm \displaystyle a = \frac{ \sqrt{3} }{2} - 1](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Crm%20%5Cdisplaystyle%20a%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20-%201)
and we are done!
disclaimer: also refer the attachment I did it first before answering the question