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3 years ago

13

A grasshopper hops along a level road. on each hop, the grasshopper launches itself itself at an angle of 45 degrees. and achiev

es a range of 0.77 m. what is the average horizontal speed of the grasshopper as it hops along the road? assume that the time spent on the ground between hops is negligible.

2 answers:

kolbaska11 [484]3 years ago

8 0

Below is the solution:

<span>R = v^2 sn(2θ) / g
v = [R g / sin(2θ)]^1/2
vx = v cosθ = cosθ [R g / sin(2θ)]^1/2
θ = π/4
then
vx = cos(π/4) [R g / sin(π/2)]^1/2 = cos(π/4) (R g)^1/2
vx = cos45*(0.82*9.8)^1/2
vx = 2 m/s</span>

Harman [31]3 years ago

4 0

Answer: 1.9 m/s

Explanation:

1) Data:

height, y = 0

range, x = 0.77m

angle, α = 45°

question, horizontal velocity, Vox = ?

2) Physical principles and formulas

Projectile motion.

$y=V_{0y}t-gt^{2} /2\\ \\ x=V_{0x}t\\ \\ V_{0y}=V_0sin\alpha \\ \\ V_{0x}=V_0cos\alpha$

3) Solution

$0.77=V_0cos(45)t\\ t=0.77/(V_0cos(45))$

$y=0=V_0sin(45)t-gt^{2} /2$

Factor

$0=t[V_0sin(45)-gt/2]$

Discard t = 0 and solve for the other factor:

$gt/2=V_0sin(45)\\ \\ V_0= gt/(2sin(45))=9.81[0.77/V_{0}cos(45)]/[2sin(45)]\\ \\ V_0^2=9.81[0.77/(2cos(45)sin(45)=9.81[0.77/sin(90)]=7.55\\ \\ V_0}=\sqrt{7.55} =2.8$

Find Vx:

$Vx=V_{0x}=V_{0}cos(45)=2.75(\sqrt{2} /2]=1.9$

Vx = 1.9m/s ← answer

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A) El martillo ejerce una fuerza hacia abajo sobre el clavo de 588.383 newtons.

B) El martillo ejerce una fuerza hacia abajo sobre el clavo de 2151.711 newtons.

Explanation:

A) A partir del enunciado sabemos que el martillo contacta el clavo incrustado en la tabla de pino y es decelerado hasta alcanzar el reposo como consecuencia de la fuerza normal del clavo sobre el martillo. Asumiendo que el martillo puede representarse como una partícula, tenemos el siguiente modelo por las leyes de Newton:

$\Sigma F = -F - W+N = \left(\frac{W}{g} \right)\cdot a$ (Eq. 1)

Donde:

$F$ - Fuerza aplicada por la persona sobre el martillo, medida en newtons.

$W$ - Peso del martillo, medido en newtons.

$N$ - Fuerza normal del clavo sobre el martillo, medido en newtons.

$g$ - Aceleración gravitacional, medida en metros por segundo al cuadrado.

$a$ - Aceleración neta, medida en metros por segundo al cuadrado.

Bajo la suposición de la aceleración constante, empleamos la siguiente fórmula cinemática para encontrar la deceleración neta:

$a = \frac{v_{f}^{2}-v_{o}^{2}}{2\cdot \Delta s}$ (Eq. 2)

Donde:

$v_{o}$ , $v_{f}$ - Velocidades inicial y final del martillo, medidas en metros por segundo.

$\Delta s$ - Distancia recorrida por el martillo, medida en metros.

Ahora, si tenemos que $F = 15\,N$ , $W = 4.9\,N$ , $v_{o} = 3.2\,\frac{m}{s}$ , $v_{f} = 0\,\frac{m}{s}$ y $\Delta s = 4.5\times 10^{-3}\,m$ , entonces la aceleración neta y la fuerza normal del clavo sobre el martillo son, respectivamente:

$a = \frac{\left(0\,\frac{m}{s} \right)^{2}-\left(3.2\,\frac{m}{s} \right)^{2}}{2\cdot (4.5\times 10^{-3}\,m)}$

$a = -1137.778\,\frac{m}{s^{2}}$

Puesto que la deceleración va hacia arriba, este debe escribirse como un valor positivo en la ecuación de equilibrio. Es decir:

$-15\,N-4.9\,N+N =\left(\frac{4.9\,N}{9.807\,\frac{m}{s^{2}} } \right)\cdot \left(1137.778\,\frac{m}{s^{2}} \right)$

$N = 588.383\,N$

Por la Tercera Ley de Newton, sabemos que la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo es la reacción de la fuerza ejercida por el clavo sobre el martillo. En consecuencia, el martillo ejerce una fuerza hacia abajo sobre el clavo de 588.383 newtons.

B) Recalculamos entonces la aceleración a partir de (Eq. 2):

( $F = 15\,N$ , $W = 4.9\,N$ , $v_{o} = 3.2\,\frac{m}{s}$ , $v_{f} = 0\,\frac{m}{s}$ , $\Delta s = 1.2\times 10^{-3}\,m$ )

$a = \frac{\left(0\,\frac{m}{s} \right)^{2}-\left(3.2\,\frac{m}{s} \right)^{2}}{2\cdot (1.2\times 10^{-3}\,m)}$

$a = -4266.667\,\frac{m}{s^{2}}$

Puesto que la deceleración va hacia arriba, este debe escribirse como un valor positivo en la ecuación de equilibrio. Calculamos la fuerza del clavo aplicada sobre el martillo en (Eq. 1):

$-15\,N-4.9\,N+N =\left(\frac{4.9\,N}{9.807\,\frac{m}{s^{2}} } \right)\cdot \left(4266.667\,\frac{m}{s^{2}} \right)$

$N =2151.711\,N$

Por la Tercera Ley de Newton, sabemos que la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo es la reacción de la fuerza ejercida por el clavo sobre el martillo. En consecuencia, el martillo ejerce una fuerza hacia abajo sobre el clavo de 2151.711 newtons.

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