Question

Un bloque de 20kg de masa se desplaza horizontalmente en la dirección de eje X por acción de una fuerza horizontal variable F = 6x, donde F se mide en Newton y "x" en metros. Si se desprecia el rozamiento determine: a) El trabajo realizado por esta fuerza mientras el bloque se mueve desde la posición x=+10m hasta la posición x=+20m b) La rapidez del bloque en la posición x=+20m, si su rapidez en la posición x=+10m fue √10 m/s.

Answer 1

Answer:

a) El trabajo realizado por esta fuerza mientras el bloque se mueve desde la posición x = + 10 m hasta la posición x = + 20 m es 900 joules.

b) La rapidez del bloque en la posición x = + 20 metros es aproximadamente 5.701 metros por segundo.

Explanation:

a) El trabajo expermentado por el bloque ($W$), medido en joules, es definida por la siguiente ecuación integral:

$W = \int\limits^{x_{max}}_ {x_{min}} F(x) \, dx$ (1)

Donde:

$x_{min}$, $x_{max}$ - Posiciones mínima y máxima del bloque, medidos en metros.

$F(x)$ - Fuerza horizontal aplicada al bloque, medida en newtons.

Si conocemos que $F(x) = 6\cdot x$, $x_{min} = 10\,m$ y $x_{max} = 20\,m$, entonces el trabajo realizado por esta fuerza es:

$W = \int\limits^{20\,m}_{10\,m} {6\cdot x} \, dx$ (2)

$W = 6\int\limits^{20\,m}_{10\,m} x\, dx$

$W = 3\cdot x^{2}\left|\limits_{10\,m}^{20\,m}$

$W = 3\cdot [(20\,m)^{2}-(10\,m)^{2}]$

$W = 900\,J$

El trabajo realizado por esta fuerza mientras el bloque se mueve desde la posición x = + 10 m hasta la posición x = + 20 m es 900 joules.

b) La rapidez final del bloque se determina mediante de Teorema del Trabajo y la Energía, es decir:

$W = K_{f}-K_{o}$ (3)

Donde son $K_{o}$, $K_{f}$ las energías cinéticas traslacionales inicial y final, medidos en joules.

Al aplicar la definición de energía cinética traslacional, expandimos y simplificamos la ecuación como sigue:

$W = \frac{1}{2}\cdot m \cdot (v_{f}^{2}-v_{o}^{2})$ (4)

Donde:

$m$ - Masa del bloque, medido en kilogramos.

$v_{o}$, $v_{f}$ - Rapideces inicial y final del bloque, medidos en metros por segundo.

$\frac{2\cdot W}{m} = v_{f}^{2}-v_{o}^{2}$

$v_{f} = \sqrt{\frac{2\cdot W}{m}+v_{o}^{2}}$

Si conocemos que $W = 900\,J$, $m = 20\,kg$ y $v_{o} = \sqrt{10}\,\frac{m}{s}$, entonces la rapidez final del bloque es:

$v_{f} = \sqrt{\frac{900\,J}{2\cdot (20\,kg)}+10\,\frac{m^{2}}{s^{2}} }$

$v_{f} \approx 5.701\,\frac{m}{s}$

La rapidez del bloque en la posición x = + 20 metros es aproximadamente 5.701 metros por segundo.